Zadanie 158

1) Dziedzina i warunek konieczny

$ x+2\ge0 \Rightarrow x\ge-2. $

Ponadto prawa strona musi być nieujemna:

$$ ax-1\ge0. $$

2) Podnosimy równanie do kwadratu

$$ x+2=(ax-1)^2. $$

$$ x+2=a^2x^2-2ax+1. $$

$$ a^2x^2-(2a+1)x-1=0. $$

Jest to równanie kwadratowe względem $x$. Aby równanie pierwotne miało dokładnie jedno rozwiązanie, musi zajść jedna z dwóch sytuacji:

• równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie ($\Delta=0$),
• albo ma dwa rozwiązania, ale tylko jedno spełnia warunek $ax-1\ge0$.

3) Obliczamy wyróżnik

$$ \Delta=(2a+1)^2+4a^2=4a^2+4a+1+4a^2=8a^2+4a+1. $$

Przypadek I: $\Delta=0$

$$ 8a^2+4a+1=0. $$

$$ \Delta_a=4^2-4\cdot8\cdot1=16-32=-16<0. $$

Brak rozwiązań — równanie kwadratowe zawsze ma dwa pierwiastki.

4) Sprawdzamy, kiedy tylko jeden spełnia warunek $ax-1\ge0$

Pierwiastki:

$$ x_{1,2}=\frac{2a+1\pm\sqrt{8a^2+4a+1}}{2a^2}. $$

Zauważmy szczególny przypadek $a=0$:

$$ \sqrt{x+2}=-1. $$

Brak rozwiązań (pierwiastek jest nieujemny).

Teraz sprawdzimy kiedy rozwiązaniem jest punkt styczności wykresów. Funkcje:

$$ y=\sqrt{x+2}, \qquad y=ax-1. $$

Mają jedno rozwiązanie wtedy, gdy prosta jest styczna do wykresu pierwiastka.

Pochodna funkcji:

$$ y'=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}. $$

Warunek styczności:

$$ a=\frac{1}{2\sqrt{x+2}} $$ oraz $$ \sqrt{x+2}=ax-1. $$

Podstawiamy $a$:

$$ \sqrt{x+2}=\frac{x}{2\sqrt{x+2}}-1. $$

Mnożymy przez $2\sqrt{x+2}$:

$$ 2(x+2)=x-2\sqrt{x+2}. $$

$$ 2x+4=x-2\sqrt{x+2}. $$

$$ x+4=-2\sqrt{x+2}. $$

Lewa strona ≥2 dla $x\ge-2$, prawa ≤0, więc jedyne możliwe gdy obie strony =0:

$$ x=-4 \quad (\text{sprzeczne z dziedziną}). $$

Pozostaje przypadek graniczny:

Jedno rozwiązanie występuje tylko gdy prosta przechodzi przez punkt początkowy wykresu: $x=-2$.

Podstawiamy:

$$ 0=a(-2)-1 \Rightarrow a=-\frac12. $$

Wtedy równanie ma jedno rozwiązanie $x=-2$.

Odpowiedź: $$ a=-\frac12. $$