Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych $(x,y)$ spełniające równanie diofantyczne $2x+3y=100$.
Równanie liniowe z dwoma niewiadomymi — szukamy wszystkich rozwiązań całkowitych nieujemnych. Wyznaczmy jedną niewiadomą: $3y=100-2x \Rightarrow y=\dfrac{100-2x}{3}$.
Aby $y$ było całkowite, liczba $100-2x$ musi być podzielna przez $3$. Sprawdźmy resztę $100$ modulo $3$: $100\equiv1\pmod3$ (bo $99$ jest podzielne przez 3). Zatem warunek $100-2x\equiv0\pmod3$ daje $1-2x\equiv0\pmod3 \Rightarrow 2x\equiv1\pmod3$.
Ponieważ $2\equiv -1\pmod3$, równanie $2x\equiv1$ jest równoważne $-x\equiv1$, czyli $x\equiv -1\equiv2\pmod3$. Zatem $x=3k+2$ dla $k\ge0$ całkowitego.
Podstawiamy: $y=\dfrac{100-2(3k+2)}{3} = \dfrac{100-6k-4}{3} = \dfrac{96-6k}{3} = 32-2k$.
Warunki nieujemności: $x=3k+2\ge0$ (zawsze dla $k\ge0$) oraz $y=32-2k\ge0 \Rightarrow 2k\le32 \Rightarrow k\le16$. Zatem $k=0,1,\dots,16$.
\item Dla każdego takiego $k$ mamy parę $(x,y)=(3k+2,\;32-2k)$.
Odpowiedź: wszystkie pary $(x,y)=(3k+2,\;32-2k)$ dla $k=0,1,\dots,16$ (czyli 17 rozwiązań).