Dane są wielomiany:
$K(x)=x^3-2x^2+5$
$L(x)=x^3-3x^2+4x+6$
Oblicz pierwiastki wielomianu $M(x)=2K(x)-L(x)$.
W ciągu arytmetycznym czwarty wyraz jest równy $10$, a suma trzech kolejnych wyrazów od piątego do siódmego wynosi $39$. Niech pierwszy wyraz to $a_1$, różnica to $r$. Wtedy $a_4=a_1+3r=10$. (1) Wyrazy $a_5,a_6,a_7$ to odpowiednio $a_1+4r,\;a_1+5r,\;a_1+6r$. Ich suma daje $(a_1+4r)+(a_1+5r)+(a_1+6r)=3a_1+15r=39$. (2) Z równania (1) mamy $a_1=10-3r$. Podstawiamy do (2): $3(10-3r)+15r=39 \Rightarrow 30-9r+15r=39 \Rightarrow 30+6r=39$. Stąd $6r=9$ i $r=\dfrac{3}{2}$. Obliczamy $a_1$: $a_1=10-3\cdot\dfrac{3}{2}=10-\dfrac{9}{2}=\dfrac{11}{2}=5{,}5$. Odpowiedź: $a_1=\dfrac{11}{2},\; r=\dfrac{3}{2}$.
Dane wielomiany: $K(x)=x^3-2x^2+5$, $L(x)=x^3-3x^2+4x+6$. Oblicz pierwiastki $M(x)=2K(x)-L(x)$.
$2K(x)=2x^3-4x^2+10$, więc $M(x)=(2x^3-4x^2+10)-(x^3-3x^2+4x+6)$. Porządkując: $M(x)=x^3-x^2-4x+4$.
Sprawdzamy możliwe pierwiastki całkowite $\pm1,\pm2,\pm4$. Dla $x=1$: $M(1)=1-1-4+4=0$, więc $x=1$ jest pierwiastkiem i $(x-1)$ dzieli $M(x)$.
Dzieląc otrzymujemy $M(x)=(x-1)(x^2-4)$, a $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Zatem $M(x)=(x-1)(x-2)(x+2)$. Pierwiastki: $\boxed{x=1,;x=2,;x=-2}$.