Ile jest czterocyfrowych liczb parzystych o różnych cyfrach, utworzonych z cyfr $0,1,2,3,4,5$?
Liczba czterocyfrowa nie może zaczynać się od zera. Dodatkowo musi być parzysta — ostatnia cyfra jest w zbiorze {0,2,4}. Wszystkie cyfry różne.
Podzielmy przypadki ze względu na to, czy zeru użyjemy jako ostatniej cyfry czy nie.
Przypadek A: ostatnia cyfra = 0. Wtedy pierwsza cyfra (najbardziej znacząca) może być z {1,2,3,4,5} — 5 możliwości. Pozostałe dwie środkowe wybieramy z pozostałych 4 cyfr w dowolnej kolejności: warianty = $5 \cdot P(4,2)=5\cdot4\cdot3=60$.
Przypadek B: ostatnia cyfra = 2 lub 4 (dwie możliwości). Wtedy pierwsza cyfra nie może być 0, ani równa ostatniej. Rozważamy podprzypadki:
- Jeśli pierwsza cyfra = 0 — niewłaściwe (liczba nie jest czterocyfrowa). Zatem pierwsza cyfra wybieramy z pozostałego zbioru {1,3,4,5} minus ewentualnie ostatnia (jeśli ostatnia to 2, to zbiór {1,3,4,5} — 4 możliwości; jeśli ostatnia 4, podobnie 4 możliwości). Ogólnie: dla danej ostatniej cyfry mamy 4 możliwości na pierwszą.
Pozostałe dwie środkowe cyfry to permutacje z pozostałych 4 cyfr (bo z 6 cyfr usunęliśmy już pierwszą i ostatnią): $P(4,2)=4\cdot3=12$. Dla każdej z 2 możliwości ostatniej cyfry mamy $4\cdot12=48$ liczb.
Razem przypadek B: $2\cdot48=96$.
Sumujemy A+B: $60+96=156$.