Zadanie 162

Użyjemy reguły Fermata dla $p=5$: dla każdej liczby całkowitej $a$ zachodzi $a^5\equiv a\pmod5$ (słabsza wersja małego twierdzenia Fermata, tu wystarczy rozważyć reszty 0,1,2,3,4).
Możemy też sprawdzić przypadki: jeżeli $n\equiv0\pmod5$, to $n^5-n\equiv0-0\equiv0$. Jeśli $n\equiv1$, to $1^5-1=0$ itd. Dla każdej reszty modulo 5 otrzymamy 0.
Zatem $n^5-n\equiv0\pmod5$ dla każdego $n$, czyli jest podzielne przez $5$.

Odpowiedź: dla wszystkich $n\in\mathbb{N}$ liczba $n^5-n$ jest podzielna przez $5$.