Wykaż tożsamość: $ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\tan\alpha $ (przy $\cos\alpha\neq0$) lub sprowadź lewą stronę do funkcji podwójnego kąta.
Lewa strona to różnica kwadratów: $ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) $.
Wiemy, że $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $, więc $ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos 2\alpha $.
Alternatywnie, użyj identyczności: $ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = (\sin\alpha - \cos\alpha)(\sin\alpha + \cos\alpha) $, ale wygodniej skorzystać ze wzorów: $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $ i $ \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $.
Zatem $ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos 2\alpha $.
Aby otrzymać postać z $ \tan\alpha $, podzielmy obie strony przez $ \cos^2\alpha $ (zakładając $ \cos\alpha\neq0 $):
$ \tan^2\alpha - 1 = -\dfrac{\cos 2\alpha}{\cos^2\alpha} $.
Możemy też bezpośrednio sprawdzić równość podaną w treści: prawa strona = $ 2\sin\alpha\cos\alpha\tan\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin^2\alpha $.
Lewa strona = $ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 2\sin^2\alpha - 1 $ (bo $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $). Widać, że ogólna postać zadanego równania nie jest tożsamością dla wszystkich $\alpha$ — natomiast prawidłowa i często używana relacja to: $ \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos 2\alpha $ oraz $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $.