Dana jest funkcja $f(x)=2^{x}+2^{-x}$.
a) Wyznacz najmniejszą wartość funkcji $f$ oraz argument, dla którego jest ona osiągana.
b) Rozwiąż równanie $2^{x}+2^{-x}=5$.
c) Wyznacz wszystkie $m$, dla których równanie $2^{x}+2^{-x}=m$ ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
1) Podstawienie pomocnicze: niech $t=2^x$. Wtedy $t>0$ oraz $2^{-x}=\frac{1}{2^x}=\frac{1}{t}$. Otrzymujemy funkcję jednej zmiennej: $f(x)=t+\frac{1}{t}$ dla $t>0$.
a) Najmniejsza wartość funkcji Korzystamy z nierówności AM-GM: $t+\frac{1}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot\frac{1}{t}}=2$. Równość zachodzi gdy $t=1$, czyli $2^x=1$, stąd $x=0$. Najmniejsza wartość funkcji wynosi $f_{\min}=2$ i jest osiągana dla $x=0$.
b) Rozwiązanie równania $2^{x}+2^{-x}=5$ Z podstawienia $t=2^x$ mamy: $t+\frac{1}{t}=5$. Mnożymy przez $t$: $t^2-5t+1=0$. $\Delta=25-4=21$. $t_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}$. Ponieważ $t>0$, oba rozwiązania są dopuszczalne. Wracamy do zmiennej $x$: $2^x=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$ lub $2^x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$. $x=\log_2\!\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)$ lub $x=\log_2\!\left(\frac{5-\sqrt{21}}{2}\right)$.
c) Liczba rozwiązań równania $2^{x}+2^{-x}=m$ Wiemy z punktu (a), że $f(x)\ge 2$ dla każdego $x$. Funkcja jest parzysta i maleje na $(-\infty,0]$ oraz rośnie na $[0,\infty)$. Zatem: • dla $m<2$ – brak rozwiązań, • dla $m=2$ – jedno rozwiązanie ($x=0$), • dla $m>2$ – dokładnie dwa rozwiązania.