Zadanie 165

Dana jest funkcja $f(x)=\frac{4}{3x-2}$ określona dla $x\in[1,5]$. Chcemy wyznaczyć jej najmniejszą i największą wartość.

1) Sprawdzamy ciągłość funkcji na przedziale.
Mianownik $3x-2\neq 0$. Rozwiązujemy $3x-2=0$:
$x=\frac{2}{3}$.
Ponieważ $\frac{2}{3}\notin[1,5]$, funkcja jest ciągła na całym przedziale $[1,5]$. Zatem przyjmuje tam wartości najmniejszą i największą (tw. Weierstrassa).

2) Obliczamy pochodną:
$f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{3x-2}\right)=4\cdot\frac{-3}{(3x-2)^2}=\frac{-12}{(3x-2)^2}$.

3) Badamy znak pochodnej:
$(3x-2)^2>0$ dla każdego $x\in[1,5]$, więc
$f'(x)<0$ dla każdego $x\in[1,5]$.
Funkcja jest więc malejąca na całym przedziale.

4) Dla funkcji malejącej na przedziale domkniętym:
- wartość największa jest na początku przedziału,
- wartość najmniejsza jest na końcu przedziału.

5) Obliczamy wartości na końcach przedziału:
$f(1)=\frac{4}{3\cdot1-2}=\frac{4}{1}=4$.

$f(5)=\frac{4}{3\cdot5-2}=\frac{4}{15-2}=\frac{4}{13}$.

Odpowiedź:
Największa wartość funkcji: $4$.
Najmniejsza wartość funkcji: $\frac{4}{13}$.