Zadanie 166

Skorzystamy ze wzoru na tangens sumy kątów: $\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$. Przyjmijmy $\alpha=45^\circ$, $\beta=30^\circ$.
Mamy $\tan45^\circ=1$ i $\tan30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt3}$.
Stąd $\displaystyle \tan75^\circ=\frac{1+\frac{1}{\sqrt3}}{1-1\cdot\frac{1}{\sqrt3}}=\frac{\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3}}{\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3}}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}$.
Racjonalizujemy mianownik mnożąc licznik i mianownik przez $\sqrt3+1$: $\displaystyle \tan75^\circ=\frac{(\sqrt3+1)^2}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\frac{3+2\sqrt3+1}{3-1}=\frac{4+2\sqrt3}{2}=2+\sqrt3$.
Ostatecznie $\boxed{\tan75^\circ=2+\sqrt3}$.