W trójkącie równoramiennym ramię ma długość $10$ i jest nachylone do podstawy pod kątem $58{.}2^\circ$.
Oblicz:
a) pole trójkąta
b) długość podstawy
c) wysokość opuszczoną na podstawę
d) obwód trójkąta
Trójkąt jest równoramienny, więc kąty przy podstawie są równe. Kąt między ramionami (kąt przy wierzchołku) wynosi $$\gamma=180^\circ-2\cdot58{.}2^\circ=63{.}6^\circ.$$ (a) Pole obliczymy ze wzoru dla dwóch boków i kąta między nimi: $$P=\tfrac12\cdot a\cdot a\cdot\sin\gamma=\tfrac12\cdot10\cdot10\cdot\sin63{.}6^\circ=50\sin63{.}6^\circ.$$ Wyznaczamy wartość funkcji trygonometrycznej (dokładność liczbowa): $$\sin63{.}6^\circ\approx0{.}8957117602.$$ Stąd $$P\approx50\cdot0{.}8957117602\approx44{.}78558801197\ (\text{jedn.}^2).$$ (b) Długość podstawy $b$ można obliczyć z twierdzenia cosinusów (albo z geometrii): $$b^2=a^2+a^2-2a^2\cos\gamma=2a^2(1-\cos\gamma).$$ Obliczamy $\cos63{.}6^\circ\approx0{.}4446351792$, więc $$b=\sqrt{2\cdot10^2(1-0{.}4446351792)}=\sqrt{200\cdot0{.}5553648208}\approx10{.}53911590993.$$ Zatem $b\approx10{.}539\ (\text{jedn.})$. (c) Wysokość $h$ opuszczona na podstawę związana jest z polem: $$P=\tfrac12 b h\quad\Rightarrow\quad h=\frac{2P}{b}.$$ Podstawiając wartości: $$h\approx\frac{2\cdot44{.}78558801197}{10{.}53911590993}\approx8{.}49892692987.$$ Zatem $h\approx8{.}499\ (\text{jedn.})$. (d) Obwód $O$ to suma boków: $$O=2a+b=2\cdot10+10{.}53911590993\approx30{.}53911590993.$$ Zatem $O\approx30{.}539\ (\text{jedn.}).$ Podsumowanie wyników (zaokrąglone): $P\approx44{.}786\ (\text{jedn.}^2)$, $b\approx10{.}539\ (\text{jedn.})$, $h\approx8{.}499\ (\text{jedn.})$, $O\approx30{.}539\ (\text{jedn.})$.