Zadanie 168

Sprowadzimy wszystkie liczby do potęg $2$ i $3$:
$$9=3^2,\qquad36=6^2=(2\cdot3)^2=2^2\cdot3^2,\qquad27=3^3,\qquad6=2\cdot3.$$
Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: $$\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a}.$$
Najpierw pierwszy logarytm: $$\log_9 6=\frac{\ln6}{\ln9}=\frac{\ln(2\cdot3)}{\ln(3^2)}=\frac{\ln2+\ln3}{2\ln3}.$$
Drugi logarytm: $$\log_{36}27=\frac{\ln27}{\ln36}=\frac{\ln(3^3)}{\ln(2^2\cdot3^2)}=\frac{3\ln3}{2\ln2+2\ln3}=\frac{3\ln3}{2(\ln2+\ln3)}.$$
Mnożymy otrzymane wyrażenia: $$\log_9 6\cdot\log_{36}27=\frac{\ln2+\ln3}{2\ln3}\cdot\frac{3\ln3}{2(\ln2+\ln3)}.$$
Skracamy $\ln2+\ln3$ oraz $\ln3$: $$=\frac{3}{4}.$$
Otrzymujemy tezę: $$\log_{9}{6}\cdot\log_{36}{27}=\frac34.$$