Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy długości $10$. Ściana boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $45^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie.
Pole podstawy ostrosłupa:
$$P_p=10^2=100.$$
Aby obliczyć objętość, musimy wyznaczyć wysokość ostrosłupa $H$.
Rozpatrzmy przekrój przechodzący przez wierzchołek ostrosłupa, środek podstawy oraz środek jednego boku podstawy.
W takim przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym:
- przyprostokątna pozioma jest równa odległości środka kwadratu od środka boku, czyli
$$\frac{10}{2}=5,$$
- przyprostokątna pionowa to wysokość ostrosłupa $H$,
- kąt między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy wynosi $45^\circ$.
Zatem
$$\tan 45^\circ=\frac{H}{5}.$$
Ponieważ
$$\tan 45^\circ=1,$$
więc
$$1=\frac{H}{5},$$
$$H=5.$$