Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy długości $8$. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $45^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie.
Pole podstawy:
$$P_p=8^2=64.$$
Niech $S$ będzie wierzchołkiem ostrosłupa, $O$ środkiem podstawy, a $A$ wierzchołkiem podstawy.
Krawędź boczna $SA$ tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $45^\circ$. W trójkącie $SAO$ odcinek $AO$ jest rzutem krawędzi $SA$ na płaszczyznę podstawy, a $SO$ jest wysokością ostrosłupa.
Najpierw obliczamy długość $AO$, czyli odległość środka kwadratu od jego wierzchołka. Jest to połowa przekątnej kwadratu:
$$AO=\frac{8\sqrt2}{2}=4\sqrt2.$$
Z definicji tangensa kąta między prostą a płaszczyzną:
$$\tan 45^\circ=\frac{SO}{AO}.$$
Ponieważ
$$\tan45^\circ=1,$$
więc
$$SO=AO=4\sqrt2.$$