Dane są punkty $A=(1,1)$, $B=(5,1)$ oraz $C=(3,5)$ będące wierzchołkami trójkąta. Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie.
Równanie okręgu w postaci ogólnej możemy zapisać jako
$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.$$
Podstawiamy kolejno współrzędne punktów $A,B,C$.
Dla punktu $A(1,1)$:
$$1^2+1^2+D\cdot1+E\cdot1+F=0,$$
$$2+D+E+F=0.$$
Dla punktu $B(5,1)$:
$$25+1+5D+E+F=0,$$
$$26+5D+E+F=0.$$
Dla punktu $C(3,5)$:
$$9+25+3D+5E+F=0,$$
$$34+3D+5E+F=0.$$
Otrzymujemy układ równań:
$$2+D+E+F=0,$$
$$26+5D+E+F=0,$$
$$34+3D+5E+F=0.$$
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
$$24+4D=0,$$
$$D=-6.$$
Odejmujemy pierwsze równanie od trzeciego:
$$32+2D+4E=0.$$
Podstawiamy $D=-6$:
$$32-12+4E=0,$$
$$20+4E=0,$$
$$E=-5.$$
Podstawiamy do pierwszego równania:
$$2-6-5+F=0,$$
$$F=9.$$
Równanie okręgu:
$$x^2+y^2-6x-5y+9=0.$$
Możemy zapisać je w postaci kanonicznej. Grupujemy wyrażenia:
$$x^2-6x+y^2-5y+9=0.$$
Uzupełniamy do kwadratów:
$$x^2-6x=(x-3)^2-9,$$
$$y^2-5y=(y-\tfrac52)^2-\tfrac{25}{4}.$$
Podstawiamy:
$$(x-3)^2-9+(y-\tfrac52)^2-\tfrac{25}{4}+9=0,$$
$$(x-3)^2+(y-\tfrac52)^2=\tfrac{25}{4}.$$