Z cyfr $1,2,3,4,5,6,7$ losujemy bez powtórzeń trzy cyfry i ustawiamy je w kolejności losowania, tworząc liczbę trzycyfrową. Oblicz, ile można otrzymać liczb trzycyfrowych, w których dokładnie jedna cyfra jest parzysta.
Cyfry parzyste w tym zbiorze to:
$$2,4,6,$$
czyli są $3$ cyfry parzyste.
Cyfry nieparzyste to:
$$1,3,5,7,$$
czyli są $4$ cyfry nieparzyste.
Szukamy liczb trzycyfrowych, w których dokładnie jedna cyfra jest parzysta, a więc pozostałe dwie muszą być nieparzyste.
Najpierw wybieramy:
- $1$ cyfrę parzystą spośród $3$,
- $2$ cyfry nieparzyste spośród $4$.
Liczba takich wyborów wynosi:
$$\binom31 \cdot \binom42=3\cdot6=18.$$
Z wybranych $3$ różnych cyfr możemy utworzyć
$$3!=6$$
różnych liczb trzycyfrowych.
Zatem wszystkich liczb spełniających warunek jest:
$$18\cdot6=108.$$
Odpowiedź: Można otrzymać $108$ takich liczb trzycyfrowych.