W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy $12$ i wysokości $8$ wpisano kulę. Oblicz objętość części ostrosłupa znajdującej się poza tą kulą.
Najpierw obliczamy objętość ostrosłupa.
Pole podstawy:
$$P_p=12^2=144.$$
Objętość ostrosłupa:
$$V_o=\frac13 P_p\cdot H=\frac13\cdot144\cdot8=384.$$
Aby obliczyć objętość kuli wpisanej w ostrosłup, najpierw wyznaczamy jej promień.
Dla wielościanu, w który można wpisać kulę, zachodzi zależność
$$V=\frac13 rP,$$
gdzie $V$ – objętość bryły, a $P$ – pole powierzchni całkowitej.
Najpierw obliczamy pole powierzchni bocznej.
Wysokość ściany bocznej:
$$l=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=10.$$
Pole jednej ściany bocznej:
$$P_1=\frac12\cdot12\cdot10=60.$$
Pole czterech ścian bocznych:
$$P_b=4\cdot60=240.$$
Pole całkowite:
$$P_c=144+240=384.$$
Z zależności
$$V=\frac13 rP_c$$
otrzymujemy
$$384=\frac13 r\cdot384,$$
$$r=3.$$