Zadanie 178

Chcemy wykazać, że $$48\mid(7^{2n}-1).$$ Ponieważ $$7^{2n}=(7^2)^n=49^n,$$ wystarczy zbadać liczbę $$49^n-1.$$

Zauważmy, że $$49=48+1.$$ Zatem $$49^n-1=(48+1)^n-1.$$

Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona: $$(48+1)^n=\binom{n}{0}48^0\cdot1^n+\binom{n}{1}48^1\cdot1^{n-1}+\binom{n}{2}48^2\cdot1^{n-2}+\dots+\binom{n}{n}48^n.$$ Czyli $$(48+1)^n=1+48n+\binom{n}{2}48^2+\dots+48^n.$$ Po odjęciu $1$ dostajemy $$(48+1)^n-1=48n+\binom{n}{2}48^2+\dots+48^n.$$

Każdy składnik po prawej stronie jest podzielny przez $48$, więc cała suma także jest podzielna przez $48$.

Zatem $$48\mid\big((48+1)^n-1\big),$$ a więc $$48\mid(49^n-1).$$ Stąd $$48\mid(7^{2n}-1).$$

Odpowiedź: Dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $7^{2n}-1$ jest podzielna przez $48$.