Wyznacz wartość najmniejszą i wartość największą funkcji
$$
f(x)=(x-2)^2-3
$$
w przedziale
$$
\langle 0,4\rangle.
$$
Funkcja jest podana w postaci kanonicznej:
$$
f(x)=(x-2)^2-3.
$$
Wierzchołek paraboli ma współrzędne
$$
(2,-3).
$$
Ponieważ współczynnik przy wyrażeniu
$$
(x-2)^2
$$
jest dodatni, ramiona paraboli są skierowane do góry. Zatem w wierzchołku funkcja przyjmuje wartość najmniejszą.
Krok 1. Wartość najmniejsza.
Ponieważ
$$
2\in\langle 0,4\rangle,
$$
to
$$
f(2)=(2-2)^2-3= -3.
$$
Zatem wartość najmniejsza wynosi
$$
-3.
$$
Krok 2. Wartość największa.
Sprawdzamy wartości funkcji na końcach przedziału:
$$
f(0)=(0-2)^2-3=4-3=1,
$$
$$
f(4)=(4-2)^2-3=4-3=1.
$$
Zatem wartość największa wynosi
$$
1.
$$
Odpowiedź:
Wartość najmniejsza:
$$
-3,
$$
wartość największa:
$$
1.
$$