Rozwiąż równanie
$$
\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=4.
$$
Krok 1. Dziedzina.
Warunki pod pierwiastkami:
$$
x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3,
$$
$$
x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1.
$$
Zatem:
$$
x\ge 1.
$$
Krok 2. Podnosimy równanie do kwadratu.
$$
(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1})^2=16.
$$
$$
x+3+x-1+2\sqrt{(x+3)(x-1)}=16,
$$
$$
2x+2+2\sqrt{(x+3)(x-1)}=16.
$$
$$
2\sqrt{(x+3)(x-1)}=14-2x.
$$
Dzielimy przez $2$:
$$
\sqrt{(x+3)(x-1)}=7-x.
$$
Ponieważ lewa strona jest nieujemna, musi być:
$$
7-x\ge 0 \Rightarrow x\le 7.
$$
Krok 3. Ponownie podnosimy do kwadratu.
$$
(x+3)(x-1)=(7-x)^2.
$$
$$
x^2+2x-3=x^2-14x+49.
$$
$$
2x-3=-14x+49,
$$
$$
16x=52,
$$
$$
x=\frac{13}{4}.
$$
Krok 4. Sprawdzenie.
$$
\sqrt{\frac{13}{4}+3}+\sqrt{\frac{13}{4}-1}
=\sqrt{\frac{25}{4}}+\sqrt{\frac{9}{4}}
=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}=4.
$$
Warunki są spełnione.
Odpowiedź:
$$
x=\frac{13}{4}.
$$