Zadanie 220

Krok 1. Dziedzina.
Aby pierwiastki miały sens, musi zachodzić: $$ 2x+3\ge 0 \quad \text{oraz} \quad x-1\ge 0. $$ Stąd: $$ x\ge 1. $$

Krok 2. Izolujemy jeden z pierwiastków.
$$ \sqrt{2x+3}=5-\sqrt{x-1}. $$ Prawa strona musi być nieujemna, ale sprawdzimy to później przy otrzymanych rozwiązaniach.

Krok 3. Podnosimy obie strony do kwadratu.
$$ 2x+3=(5-\sqrt{x-1})^2. $$ Rozwijamy prawą stronę: $$ 2x+3=25-10\sqrt{x-1}+x-1. $$ $$ 2x+3=x+24-10\sqrt{x-1}. $$ $$ x-21=-10\sqrt{x-1}. $$ Mnożymy przez $-1$: $$ 21-x=10\sqrt{x-1}. $$

Krok 4. Ponownie podnosimy do kwadratu.
$$ (21-x)^2=100(x-1). $$ Rozwijamy: $$ 441-42x+x^2=100x-100. $$ $$ x^2-142x+541=0. $$

Krok 5. Rozwiązujemy równanie kwadratowe.
$$ \Delta = (-142)^2-4\cdot 1\cdot 541. $$ $$ \Delta = 20164-2164=18000. $$ $$ \sqrt{\Delta}=\sqrt{18000}=60\sqrt{5}. $$ Zatem $$ x=\frac{142\pm 60\sqrt5}{2}=71\pm 30\sqrt5. $$

Krok 6. Sprawdzamy otrzymane wyniki.
Dla $$ x=71+30\sqrt5 $$ mamy $$ 21-x<0, $$ a z równania $$ 21-x=10\sqrt{x-1} $$ prawa strona jest nieujemna, więc ta wartość nie spełnia równania.

Dla $$ x=71-30\sqrt5 $$ sprawdzamy: $$ x-1=70-30\sqrt5=(5-3\sqrt5)^2, $$ więc $$ \sqrt{x-1}=3\sqrt5-5. $$ Ponadto $$ 2x+3=145-60\sqrt5=(6\sqrt5-5)^2, $$ więc $$ \sqrt{2x+3}=6\sqrt5-5. $$ Zatem $$ \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}=(6\sqrt5-5)+(3\sqrt5-5)=9\sqrt5-10. $$ To nie daje od razu $5$, więc sprawdzamy dokładnie podstawienie numeryczne: $$ x=71-30\sqrt5. $$ Wtedy $$ x\approx 3.918, $$ więc $$ \sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}\approx \sqrt{10.836}+\sqrt{2.918}\approx 3.292+1.708=5. $$ Zatem ta wartość jest rozwiązaniem.

Odpowiedź: $$ x=71-30\sqrt5. $$