Rozwiąż układ równań:
$$
\begin{cases}
x+2y+z=7,\\
2x-y+3z=4,\\
3x+y+2z=10.
\end{cases}
$$
Krok 1. Eliminujemy jedną zmienną.
Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
$$
(2x-y+3z)-(x+2y+z)=4-7,
$$
$$
x-3y+2z=-3. \quad (1)
$$
Odejmujemy pierwsze równanie od trzeciego:
$$
(3x+y+2z)-(x+2y+z)=10-7,
$$
$$
2x-y+z=3. \quad (2)
$$
Krok 2. Rozwiązujemy układ dwóch równań.
Z równania (2):
$$
2x-y+z=3 \Rightarrow y=2x+z-3.
$$
Podstawiamy do (1):
$$
x-3(2x+z-3)+2z=-3,
$$
$$
x-6x-3z+9+2z=-3,
$$
$$
-5x-z+9=-3,
$$
$$
-5x-z=-12,
$$
$$
z=-5x+12.
$$
Podstawiamy do wzoru na $y$:
$$
y=2x+(-5x+12)-3=-3x+9.
$$
Krok 3. Podstawiamy do pierwszego równania.
$$
x+2y+z=7,
$$
$$
x+2(-3x+9)+(-5x+12)=7,
$$
$$
x-6x+18-5x+12=7,
$$
$$
-10x+30=7,
$$
$$
-10x=-23,
$$
$$
x=\frac{23}{10}.
$$
Krok 4. Wyznaczamy pozostałe zmienne.
$$
z=-5x+12=-5\cdot\frac{23}{10}+12=-\frac{115}{10}+\frac{120}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},
$$
$$
y=-3x+9=-3\cdot\frac{23}{10}+9=-\frac{69}{10}+\frac{90}{10}=\frac{21}{10}.
$$
Odpowiedź:
$$
x=\frac{23}{10},\quad y=\frac{21}{10},\quad z=\frac{1}{2}.
$$