Zadanie 218

Krok 1. Twierdzenie o reszcie.
Reszta z dzielenia przez $(x-2)$ jest równa: $$ W(2). $$ $$ W(2)=2\cdot8-3\cdot4-11\cdot2+6=16-12-22+6=-12. $$ Zatem reszta wynosi $$ -12\neq 0, $$ więc $(x-2)$ nie jest czynnikiem wielomianu.

Krok 2. Szukamy pierwiastków wielomianu.
Sprawdzamy proste wartości: $$ W(1)=2-3-11+6=-6, $$ $$ W(-1)=-2-3+11+6=12, $$ $$ W(3)=54-27-33+6=0. $$ Zatem $x=3$ jest pierwiastkiem.

Krok 3. Dzielimy wielomian przez $(x-3)$.
Schemat Hornera: $$ \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -3 & -11 & 6 \\ & & 6 & 9 & -6 \\ \hline & 2 & 3 & -2 & 0 \end{array} $$ Otrzymujemy: $$ W(x)=(x-3)(2x^2+3x-2). $$

Krok 4. Rozkład trójmianu.
$$ 2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2). $$

Krok 5. Rozwiązania równania.
$$ (x-3)(2x-1)(x+2)=0. $$ $$ x=3 \quad \text{lub} \quad x=\frac12 \quad \text{lub} \quad x=-2. $$

Odpowiedź:
Reszta: $$ -12, $$ rozwiązania: $$ x\in\{-2,\tfrac12,3\}. $$