Zadanie 217

Oznaczmy: $$ a $$ – długość boku podstawy, $$ H $$ – wysokość ostrosłupa, $$ S $$ – wierzchołek ostrosłupa, $$ O $$ – środek podstawy, $$ A $$ – wierzchołek podstawy.

Podstawa jest trójkątem równobocznym, więc $$ P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$

Krok 1. Zależność między wysokością ostrosłupa a bokiem podstawy.
Ponieważ krawędź boczna $SA$ tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $60^\circ$, to w trójkącie prostokątnym $SAO$ mamy $$ \angle SAO=60^\circ. $$ W trójkącie równobocznym odległość środka podstawy od wierzchołka jest równa $$ OA=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}. $$ Z definicji tangensa: $$ \tan 60^\circ=\frac{H}{OA}. $$ Czyli $$ \sqrt{3}=\frac{H}{a\sqrt{3}/3}. $$ Stąd $$ H=\sqrt{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3}=a. $$ Zatem $$ H=a. $$

Krok 2. Korzystamy ze wzoru na objętość.
$$ V=\frac13 P_p\cdot H. $$ Podstawiamy: $$ 48\sqrt{3}=\frac13\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a. $$ $$ 48\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}. $$ Mnożymy stronami przez $12$: $$ 576\sqrt{3}=a^3\sqrt{3}. $$ $$ a^3=576. $$ Ponieważ $$ 576=64\cdot 9, $$ to $$ a=\sqrt[3]{576}=4\sqrt[3]{9}. $$

Krok 3. Obliczamy pole podstawy.
$$ P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. $$ Mamy $$ a^2=(4\sqrt[3]{9})^2=16\sqrt[3]{81}=16\cdot 3\sqrt[3]{3}=48\sqrt[3]{3}. $$ Zatem $$ P_p=\frac{48\sqrt[3]{3}\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}\sqrt[3]{3}. $$

Krok 4. Obliczamy wysokość ściany bocznej.
Niech $M$ będzie środkiem boku podstawy. Wtedy $SM$ jest wysokością ściany bocznej.
W trójkącie równobocznym $$ OM=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}. $$ W trójkącie prostokątnym $SOM$: $$ SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{H^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2}. $$ Ponieważ $H=a$, mamy $$ SM=\sqrt{a^2+\frac{3a^2}{36}} =\sqrt{a^2+\frac{a^2}{12}} =\sqrt{\frac{13a^2}{12}} =a\sqrt{\frac{13}{12}}. $$

Krok 5. Obliczamy pole powierzchni bocznej.
Jedna ściana boczna jest trójkątem o podstawie $a$ i wysokości $SM$, więc jej pole wynosi $$ \frac12 a\cdot SM. $$ Są trzy takie ściany, więc $$ P_b=3\cdot\frac12 a\cdot SM=\frac32 a\cdot SM. $$ Podstawiamy: $$ P_b=\frac32 a\cdot a\sqrt{\frac{13}{12}} =\frac32 a^2\sqrt{\frac{13}{12}}. $$ Ponieważ $$ a^2=48\sqrt[3]{3}, $$ to $$ P_b=\frac32\cdot 48\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{\frac{13}{12}} =72\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt{\frac{13}{12}}. $$ Możemy uprościć: $$ \sqrt{\frac{13}{12}}=\frac{\sqrt{39}}{6}, $$ więc $$ P_b=72\sqrt[3]{3}\cdot\frac{\sqrt{39}}{6} =12\sqrt{39}\sqrt[3]{3}. $$

Krok 6. Pole powierzchni całkowitej.
$$ P_c=P_p+P_b. $$ Zatem $$ P_c=12\sqrt{3}\sqrt[3]{3}+12\sqrt{39}\sqrt[3]{3}. $$ Wyłączamy wspólny czynnik: $$ P_c=12\sqrt[3]{3}\left(\sqrt{3}+\sqrt{39}\right). $$

Odpowiedź: $$ P_c=12\sqrt[3]{3}\left(\sqrt{3}+\sqrt{39}\right). $$