Zadanie 221

Krok 1. Przekształcamy równanie.
$$ mx-\sqrt{2}\,x=m^2-2, $$ $$ x(m-\sqrt{2})=m^2-2. $$

Krok 2. Rozpatrujemy przypadki.
Przypadek 1. $m\neq\sqrt{2}$
Wtedy możemy podzielić przez $(m-\sqrt{2})$: $$ x=\frac{m^2-2}{m-\sqrt{2}}. $$ Zatem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.

Przypadek 2. $m=\sqrt{2}$
Podstawiamy do równania: $$ \sqrt{2}x+2=\sqrt{2}x+(\sqrt{2})^2, $$ $$ \sqrt{2}x+2=\sqrt{2}x+2. $$ Otrzymujemy tożsamość, więc równanie jest spełnione dla każdego $x\in\mathbb{R}$.

Krok 3. Wniosek.
- dla $m\neq\sqrt{2}$ — jedno rozwiązanie,
- dla $m=\sqrt{2}$ — nieskończenie wiele rozwiązań.

Odpowiedź:
$$ \begin{cases} 1 & \text{dla } m\neq\sqrt{2},\\ \infty & \text{dla } m=\sqrt{2}. \end{cases} $$