a) W ostrosłupie prawidłowym wierzchołek leży nad środkiem podstawy.
Odległość środka podstawy od wierzchołka kwadratu (połowa przekątnej kwadratu):
$$
r=\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}.
$$
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny, w którym:
– przeciwprostokątna to krawędź boczna $l=10$,
– jedna przyprostokątna to wysokość ostrosłupa $h$,
– druga przyprostokątna to $r=3\sqrt{2}$.
Z twierdzenia Pitagorasa:
$$
h^2 + (3\sqrt{2})^2 = 10^2,
$$
$$
h^2 + 18 = 100,
$$
$$
h^2 = 82,
\quad h=\sqrt{82}.
$$
b) Pole podstawy:
$$
P_p = a^2 = 6^2 = 36.
$$
Objętość ostrosłupa:
$$
V=\frac{1}{3}P_p\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 36 \cdot \sqrt{82}=12\sqrt{82}.
$$
c) Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy to kąt między wysokością ściany bocznej a jej rzutem na podstawę.
Wysokość ściany bocznej jest wysokością trójkąta równoramiennego o ramionach $10$ i podstawie $6$:
Połowa podstawy ściany bocznej: $3$.
Z twierdzenia Pitagorasa:
$$
s^2 + 3^2 = 10^2,
$$
$$
s^2 = 91,
\quad s=\sqrt{91}.
$$
Rzut wysokości ściany bocznej na podstawę ma długość:
$$
d=\frac{a}{2}=3.
$$
Z definicji tangensa kąta $\alpha$ nachylenia ściany do podstawy:
$$
\tan\alpha=\frac{h}{d}=\frac{\sqrt{82}}{3}.
$$
Odpowiedź:
a) $h=\sqrt{82}$.
b) $V=12\sqrt{82}$.
c) $\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{82}}{3}$.