a) Z twierdzenia cosinusów dla boku $BC$ (naprzeciw kąta $A$):
$$
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos A.
$$
Podstawiamy dane:
$$
BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2\cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ.
$$
Ponieważ $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, mamy:
$$
BC^2 = 36 + 64 - 96\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=100+48=148.
$$
$$
BC=\sqrt{148}=2\sqrt{37}.
$$
b) Pole trójkąta liczymy ze wzoru z użyciem dwóch boków i kąta między nimi:
$$
P=\frac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin A.
$$
$$
P=\frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 120^\circ.
$$
Ponieważ $\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$, otrzymujemy:
$$
P=24\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.
$$
c) Ponieważ w trójkącie dany jest kąt $A=120^\circ>90^\circ$, trójkąt jest rozwartokątny.
Odpowiedź:
a) $BC=2\sqrt{37}$.
b) $P=12\sqrt{3}$.
c) Trójkąt $ABC$ jest rozwartokątny.