Dane są punkty w układzie współrzędnych:
$
A=(1,1),
B=(5,1),
C=(6,4),
D=(3,6),
E=(1,4)
$.
Punkty te, podane w kolejności, są wierzchołkami wypukłego pięciokąta.
Oblicz pole tego pięciokąta.
Skorzystamy ze wzoru na pole wielokąta w układzie współrzędnych (wzór Gaussa, tzw. „sznurowadła”).
Zapisujemy współrzędne punktów w tabeli, powtarzając pierwszy punkt na końcu:
$
\begin{array}{c|c}
x & y \\ \hline
1 & 1 \\
5 & 1 \\
6 & 4 \\
3 & 6 \\
1 & 4 \\
1 & 1
\end{array}
$
Obliczamy sumy iloczynów „w dół”:
$$
1\cdot1 + 5\cdot4 + 6\cdot6 + 3\cdot4 + 1\cdot1
= 1 + 20 + 36 + 12 + 1 = 70.
$$
Obliczamy sumy iloczynów „w górę”:
$$
1\cdot5 + 1\cdot6 + 4\cdot3 + 6\cdot1 + 4\cdot1
= 5 + 6 + 12 + 6 + 4 = 33.
$$
Pole pięciokąta:
$$
P=\frac{1}{2}\left|70-33\right|
=\frac{1}{2}\cdot 37
=\frac{37}{2}.
$$
Odpowiedź: Pole pięciokąta wynosi $\displaystyle \frac{37}{2}$.