a) Korzystamy z definicji rekurencyjnej.
$$
a_2=2\cdot 1+3=5,
$$
$$
a_3=2\cdot 5+3=13,
$$
$$
a_4=2\cdot 13+3=29.
$$
b) Rozważmy pomocniczy ciąg $(b_n)$ dany wzorem:
$$
b_n=a_n+k,
$$
gdzie stałą $k$ dobierzemy tak, aby rekurencja nie zawierała wyrazu wolnego.
Mamy:
$$
b_{n+1}-k = 2(b_n-k)+3
\Rightarrow b_{n+1}=2b_n+(3-k).
$$
Aby otrzymać rekurencję jednorodną, wybieramy $k=3$, wtedy:
$$
b_{n+1}=2b_n.
$$
Zatem $(b_n)$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $2$.
Obliczamy $b_1$:
$$
b_1=a_1+3=4.
$$
Wzór ogólny:
$$
b_n=4\cdot 2^{n-1}.
$$
Wracamy do ciągu $(a_n)$:
$$
a_n=b_n-3=4\cdot 2^{n-1}-3=2^{n+1}-3.
$$
c) Sprawdzamy monotoniczność.
Dla każdego $n\ge 1$:
$$
a_{n+1}-a_n = (2^{n+2}-3)-(2^{n+1}-3)=2^{n+1}>0.
$$
Zatem ciąg $(a_n)$ jest rosnący.
d) Obliczamy $a_{10}$:
$$
a_{10}=2^{11}-3=2048-3=2045.
$$
Odpowiedź:
a) $a_2=5$, $a_3=13$, $a_4=29$.
b) $a_n=2^{n+1}-3$.
c) Ciąg jest rosnący.
d) $a_{10}=2045$.