a) Liczba wszystkich sposobów wylosowania 3 kul (bez uwzględniania kolejności) to:
$$
\binom{9}{3}.
$$
Aby wylosować dokładnie 2 czerwone i 1 niebieską, wybieramy:
$$ \binom{5}{2} \text{ czerwone oraz } \binom{4}{1} \text{ niebieską}. $$
Zatem:
$$
P(B)=\frac{\binom{5}{2}\binom{4}{1}}{\binom{9}{3}}
=\frac{10\cdot 4}{84}
=\frac{40}{84}
=\frac{10}{21}.
$$
b) Liczymy $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
Zdarzenie $A\cap B$ oznacza: „pierwsza kula jest czerwona i łącznie w trzech losowaniach są dokładnie dwie czerwone”.
Czyli: pierwsza jest czerwona, a w dwóch kolejnych losowaniach musi wypaść jedna czerwona i jedna niebieska.
Najpierw:
$$ P(A)=P(\text{pierwsza czerwona})=\frac{5}{9}. $$
Po wylosowaniu czerwonej zostaje $4$ czerwone i $4$ niebieskie, razem $8$ kul.
Prawdopodobieństwo, że w dwóch kolejnych losowaniach wypadnie jedna czerwona i jedna niebieska (w dowolnej kolejności):
$$
\frac{4}{8}\cdot\frac{4}{7}+\frac{4}{8}\cdot\frac{4}{7}
=2\cdot\frac{4}{8}\cdot\frac{4}{7}
=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{7}
=\frac{4}{7}.
$$
Zatem:
$$
P(A\cap B)=\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{7}=\frac{20}{63}.
$$
Teraz:
$$
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{20}{63}}{\frac{10}{21}}
=\frac{20}{63}\cdot\frac{21}{10}
=\frac{20\cdot 21}{63\cdot 10}
=\frac{20}{10}\cdot\frac{21}{63}
=2\cdot\frac{1}{3}
=\frac{2}{3}.
$$
Odpowiedź:
a) $P(\text{dokładnie 2 czerwone})=\dfrac{10}{21}$.
b) $P(\text{pierwsza czerwona} \mid \text{dokładnie 2 czerwone})=\dfrac{2}{3}$.