a) Punkt $C$ leży na osi $OX$, więc ma postać $C=(x,0)$.
Pole trójkąta o wierzchołkach $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$
dane jest wzorem:
$$
P=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|.
$$
Podstawiamy dane:
$$
8=\frac{1}{2}\left|2(3-0)+6(0-(-1))+x((-1)-3)\right|.
$$
$$
8=\frac{1}{2}\left|6+6-4x\right|
=\frac{1}{2}|12-4x|.
$$
$$
|12-4x|=16.
$$
Rozwiązujemy:
$$
12-4x=16 \Rightarrow x=-1,
$$
$$
12-4x=-16 \Rightarrow x=7.
$$
Zatem możliwe są dwa punkty:
$$ C_1=(-1,0), \quad C_2=(7,0). $$
b) Obliczamy długość boku $AB$:
$$
|AB|=\sqrt{(6-2)^2+(3-(-1))^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}.
$$
Korzystamy ze wzoru na pole:
$$
P=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot h,
$$
gdzie $h$ to wysokość opuszczona z punktu $C$ na prostą $AB$.
$$
8=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot h
\Rightarrow h=\frac{16}{4\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.
$$
Odpowiedź:
a) $C=(-1,0)$ lub $C=(7,0)$.
b) Wysokość trójkąta ma długość $2\sqrt{2}$.