a) Pole podstawy - trójkąt równoboczny:
$$
P_p=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36=9\sqrt{3}.
$$
Objętość ostrosłupa:
$$
V=\frac{1}{3}P_p\cdot h
=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}
=\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 4\cdot 3
=36.
$$
b) W ostrosłupie prawidłowym wierzchołek $S$ leży nad środkiem $O$ podstawy.
Odległość środka trójkąta równobocznego od wierzchołka:
$$
r=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.
$$
Rozpatrujemy trójkąt prostokątny $SOA$, gdzie:
$$ SO=h=4\sqrt{3}, \quad OA=2\sqrt{3}. $$
Z twierdzenia Pitagorasa:
$$
SA^2=(4\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3})^2
=48+12
=60.
$$
$$
SA=\sqrt{60}=2\sqrt{15}.
$$
c) Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy to kąt między krawędzią $SA$
a jej rzutem na płaszczyznę podstawy, czyli odcinkiem $AO$.
W trójkącie prostokątnym $SAO$:
$$
\sin\alpha=\frac{SO}{SA}=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}}.
$$
Po uproszczeniu:
$$
\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}.
$$
Odpowiedź:
a) $V=36$.
b) $SA=2\sqrt{15}$.
c) $\sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$.