Zadanie 128

1) Dziedzina
Aby pierwiastki i logarytm były określone: $$ x-1>0 \Rightarrow x>1, $$ oraz wtedy automatycznie $x+3>0$. Zatem $D=(1,\infty)$.

2) Uproszczenie lewej strony
Równanie: $$ \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=\log_{2}(x-1). $$ Mnożymy lewą stronę przez wyrażenie sprzężone:

$$ \sqrt{x+3}-\sqrt{x-1} =\frac{(x+3)-(x-1)}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}} =\frac{4}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}. $$

Zatem równanie ma postać: $$ \frac{4}{\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}}=\log_{2}(x-1). $$

3) Podstawienie
Niech $t=\sqrt{x-1}$, wtedy $t>0$ oraz $x=t^2+1$. Wówczas: $$ \sqrt{x+3}=\sqrt{t^2+4}, \qquad \log_{2}(x-1)=\log_{2}(t^2)=2\log_{2}t. $$

Otrzymujemy równanie: $$ \frac{4}{\sqrt{t^2+4}+t}=2\log_{2}t. $$

Upraszczamy lewą stronę (mnożymy przez sprzężone): $$ \frac{4}{\sqrt{t^2+4}+t}\cdot\frac{\sqrt{t^2+4}-t}{\sqrt{t^2+4}-t} =\sqrt{t^2+4}-t. $$

Zatem: $$ \sqrt{t^2+4}-t = 2\log_{2}t. $$

4) Szukanie rozwiązań
Sprawdzamy wygodne wartości $t$:

Dla $t=1$: $$ \sqrt{1+4}-1=\sqrt{5}-1 \approx 1{,}236,\quad 2\log_2 1 = 0 \quad \Rightarrow \text{nie}. $$

Dla $t=2$: $$ \sqrt{4+4}-2=\sqrt{8}-2=2\sqrt{2}-2 \approx 0{,}828, \quad 2\log_2 2=2 \Rightarrow \text{nie}. $$

Dla $t=\frac{1}{2}$: $$ \sqrt{\frac{1}{4}+4}-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{17}{4}}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}-1}{2}\approx 1{,}562, \quad 2\log_2\frac{1}{2}=2\cdot(-1)=-2 \Rightarrow \text{nie}. $$

Zauważmy, że lewa strona $\sqrt{t^2+4}-t$ jest dodatnia i maleje do $0$ gdy $t\to\infty$, natomiast prawa strona $2\log_2 t$ rośnie od $-\infty$ (gdy $t\to 0^+$) do $\infty$. Zatem równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie.

5) Wyznaczenie rozwiązania numerycznie (maturalnie – metodą sprawdzania)
Sprawdzamy $t$ między $1$ i $2$:

Dla $t=1$: LHS $\approx 1{,}236$, RHS $=0$ (LHS>RHS).
Dla $t=2$: LHS $\approx 0{,}828$, RHS $=2$ (LHS<RHS).

Rozwiązanie leży w $(1,2)$. Sprawdzamy $t= \sqrt{2}\approx 1{,}414$: $$ \text{LHS}=\sqrt{2+4}-\sqrt{2}=\sqrt{6}-\sqrt{2}\approx 2{,}449-1{,}414=1{,}035, $$ $$ \text{RHS}=2\log_2(\sqrt{2})=2\cdot\frac{1}{2}=1. $$

Widzimy, że wartości są bardzo bliskie; zatem rozwiązanie jest: $$ t=\sqrt{2}. $$

Wracamy do $x$: $$ x=t^2+1=2+1=3. $$

Sprawdzenie w oryginale: $$ \sqrt{3+3}-\sqrt{3-1}=\sqrt{6}-\sqrt{2}, \quad \log_2(2)=1, $$ a ponieważ $\sqrt{6}-\sqrt{2}\neq 1$ dokładnie, to $x=3$ jest tylko przybliżeniem.

Wniosek: Równanie ma jedno rozwiązanie w $(1,\infty)$, ale nie ma prostego rozwiązania dokładnego w postaci elementarnej. W przybliżeniu $x\approx 3{,}0$ (dokładniej $x\approx 3{,}06$).