Zadanie 129

a) Najpierw liczymy pole podstawy (romb):

$$ P_p=a^2\sin 60^\circ=10^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}. $$

Obwód podstawy: $$ O=4a=40. $$

Pole boczne graniastosłupa prostego: $$ P_b=O\cdot h=40\cdot 12=480. $$

Pole powierzchni całkowitej: $$ P_c=2P_p+P_b=2\cdot 50\sqrt{3}+480=100\sqrt{3}+480. $$

b) W rombie o boku $a$ i kącie $60^\circ$ przekątne mają długości:

$$ d_1 = a\sqrt{2-2\cos 60^\circ}, \qquad d_2 = a\sqrt{2+2\cos 60^\circ}. $$

Ponieważ $\cos 60^\circ=\frac{1}{2}$, to:

$$ d_1=10\sqrt{2-1}=10, \qquad d_2=10\sqrt{2+1}=10\sqrt{3}. $$

Dłuższa przekątna rombu ma długość $d_2=10\sqrt{3}$ i jest rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę. Zatem przekątna graniastosłupa $D$ spełnia:

$$ D^2 = d_2^2 + h^2 = (10\sqrt{3})^2 + 12^2 = 300 + 144 = 444. $$

$$ D=\sqrt{444}=2\sqrt{111}. $$

Odpowiedź:
a) $P_c=480+100\sqrt{3}$.
b) $D=2\sqrt{111}$.