1) Dziedzina
Mianownik nie może być równy zero:
$$
2x(x-1{,}5)(x+6)\neq 0 \Rightarrow x\neq 0,\ x\neq 1{,}5,\ x\neq -6.
$$
2) Sprowadzamy do wygodnej postaci
Zamieniamy $1{,}5$ na ułamek:
$$ x-1{,}5 = x-\frac{3}{2}. $$
Rozkładamy czynnik $4x-6$:
$$
4x-6=2(2x-3).
$$
Mamy więc:
$$
\frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-\frac{3}{2})(x+6)}
=
\frac{2(2x-3)(x-2)^2}{2x(x-\frac{3}{2})(x+6)}.
$$
Skracamy przez $2$:
$$
=
\frac{(2x-3)(x-2)^2}{x(x-\frac{3}{2})(x+6)}.
$$
3) Zauważamy wspólny czynnik
Ponieważ:
$$
x-\frac{3}{2}=\frac{2x-3}{2},
$$
to:
$$
\frac{1}{x-\frac{3}{2}}=\frac{2}{2x-3}.
$$
Podstawiamy do wyrażenia:
$$
\frac{(2x-3)(x-2)^2}{x(x-\frac{3}{2})(x+6)}
=
\frac{(2x-3)(x-2)^2}{x\left(\frac{2x-3}{2}\right)(x+6)}.
$$
To daje:
$$
=
\frac{(2x-3)(x-2)^2}{\frac{1}{2}x(2x-3)(x+6)}.
$$
Skracamy czynnik $(2x-3)$ (wolno, bo w dziedzinie $x\neq \frac{3}{2}$):
$$
=
\frac{(x-2)^2}{\frac{1}{2}x(x+6)}.
$$
Dzielimy przez $\frac{1}{2}$, czyli mnożymy przez $2$:
$$
=
\frac{2(x-2)^2}{x(x+6)}.
$$
Ostatecznie:
$$
\frac{(4x-6)(x-2)^2}{2x(x-1{,}5)(x+6)}
=
\frac{2(x-2)^2}{x(x+6)},
\quad \text{dla } x\neq 0,\ x\neq 1{,}5,\ x\neq -6.
$$
Odpowiedź:
$ \displaystyle \frac{2(x-2)^2}{x(x+6)}$, przy dziedzinie $x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1{,}5,-6\}$.