Ponieważ $(a_n)$ jest arytmetyczny, mamy:
$$
a_n=a_1+(n-1)r.
$$
W szczególności:
$$
a_{n+1}=a_n+r,\qquad a_{n+2}=a_n+2r.
$$
a) Liczymy $b_n$:
$$
b_n=a_n\cdot a_{n+2}=a_n(a_n+2r)=a_n^2+2ra_n.
$$
Obliczamy różnicę kolejnych wyrazów:
$$
b_{n+1}-b_n
=\big(a_{n+1}^2+2ra_{n+1}\big)-\big(a_n^2+2ra_n\big).
$$
Podstawiamy $a_{n+1}=a_n+r$:
$$
b_{n+1}-b_n
=(a_n+r)^2+2r(a_n+r)-a_n^2-2ra_n.
$$
Rozwijamy:
$$
b_{n+1}-b_n
=\big(a_n^2+2ra_n+r^2\big)+\big(2ra_n+2r^2\big)-a_n^2-2ra_n
=2ra_n+3r^2.
$$
Aby $(b_n)$ był arytmetyczny, różnica $b_{n+1}-b_n$ musi być stała (nie zależeć od $n$).
Wyrażenie $2ra_n+3r^2$ zależy od $n$ poprzez $a_n$, chyba że $r=0$.
• Jeśli $r=0$, to $a_n$ jest stały, a wtedy $b_n=a_n\cdot a_{n+2}=a_1^2$ też jest stały, więc (w szczególności) arytmetyczny.
• Jeśli $r\neq 0$, to $a_n$ nie jest stały, więc $2ra_n+3r^2$ zmienia się wraz z $n$ i $(b_n)$ nie może być arytmetyczny.
Zatem $(b_n)$ jest arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy $r=0$.
b) Liczymy $c_n$:
$$
c_n=a_{n+1}^2-a_n a_{n+2}.
$$
Podstawiamy $a_{n+1}=a_n+r$ oraz $a_{n+2}=a_n+2r$:
$$
c_n=(a_n+r)^2-a_n(a_n+2r).
$$
Rozwijamy:
$$
c_n=(a_n^2+2ra_n+r^2)-(a_n^2+2ra_n)=r^2.
$$
Otrzymaliśmy wartość niezależną od $n$, więc ciąg $(c_n)$ jest stały, a jego wartość wynosi $r^2$.
Odpowiedź:
a) $(b_n)$ jest arytmetyczny $\iff r=0$.
b) $(c_n)$ jest stały i $c_n=r^2$ dla każdego $n$.