1) Wyznaczenie wysokości graniastosłupa
Przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym,
którego przyprostokątnymi są przekątna podstawy $d_p$ oraz wysokość $h$.
Z twierdzenia Pitagorasa:
$$
d^2 = d_p^2 + h^2.
$$
$$
13^2 = 5^2 + h^2
\Rightarrow 169 = 25 + h^2
\Rightarrow h^2 = 144
\Rightarrow h = 12.
$$
2) Wyznaczenie drugiego boku podstawy
Podstawa jest prostokątem o bokach $a=3$ oraz $b$.
Z twierdzenia Pitagorasa dla przekątnej podstawy:
$$
d_p^2 = a^2 + b^2
\Rightarrow 5^2 = 3^2 + b^2
\Rightarrow 25 = 9 + b^2
\Rightarrow b^2 = 16
\Rightarrow b = 4.
$$
3) Pole powierzchni całkowitej
Pole podstawy:
$$
P_p = a\cdot b = 3\cdot 4 = 12.
$$
Pole boczne:
$$
P_b = 2(a+b)\cdot h = 2(3+4)\cdot 12 = 168.
$$
Pole powierzchni całkowitej:
$$
P_c = 2P_p + P_b = 2\cdot 12 + 168 = 192.
$$
4) Objętość graniastosłupa
$$
V = P_p \cdot h = 12 \cdot 12 = 144.
$$
Odpowiedź:
a) $P_c = 192\ \text{cm}^2$.
b) $V = 144\ \text{cm}^3$.