a) Dziedzina: mianownik nie może być zerem, więc
$x-1\neq 0 \Rightarrow x\neq 1$, zatem $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Wykonujemy dzielenie:
$$ \frac{x^2-4}{x-1}. $$
Dzielimy $x^2-4$ przez $x-1$:
$$ x^2-4 = (x-1)(x+1) - 3. $$
Zatem:
$$ f(x)=x+1-\frac{3}{x-1}. $$
Czyli $a=1$, $b=1$, $c=-3$.
b) Miejsca zerowe spełniają $f(x)=0$, czyli (dla $x\neq 1$):
$$ \frac{x^2-4}{x-1}=0 \iff x^2-4=0. $$
$$ x^2-4=(x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=2 \ \text{lub}\ x=-2. $$
Oba należą do dziedziny, więc są miejscami zerowymi.
Punkt przecięcia z osią $OY$ ma $x=0$:
$$ f(0)=\frac{0-4}{0-1}=4. $$
Zatem punkt to $(0,4)$.
c) Rozwiązujemy nierówność:
$$ \frac{x^2-4}{x-1} \ge 0. $$
Rozkładamy licznik:
$$ \frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge 0. $$
Punkty istotne: $x=-2$, $x=1$ (wykluczony), $x=2$.
Badamy znaki na przedziałach: $(-\infty,-2)$, $(-2,1)$, $(1,2)$, $(2,\infty)$.
Wybieramy liczby testowe:
• Dla $x=-3$:
$(x-2)<0$, $(x+2)<0$, $(x-1)<0$ ⇒ iloraz ujemny ⇒ nie należy.
• Dla $x=0$:
$(x-2)<0$, $(x+2)>0$, $(x-1)<0$ ⇒ iloraz dodatni ⇒ należy.
• Dla $x=1{,}5$:
$(x-2)<0$, $(x+2)>0$, $(x-1)>0$ ⇒ iloraz ujemny ⇒ nie należy.
• Dla $x=3$:
$(x-2)>0$, $(x+2)>0$, $(x-1)>0$ ⇒ iloraz dodatni ⇒ należy.
Ponieważ mamy znak $\ge 0$, włączamy miejsca zerowe $x=-2$ i $x=2$, ale wykluczamy $x=1$ (brak w dziedzinie).
Odpowiedź:
$$ x \in [-2,1) \cup [2,\infty). $$