Mamy ostrosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy $a$ oraz wysokości ostrosłupa $H=3a$. Objętość ostrosłupa jest równa $$V=\frac{81\sqrt3}{2}.$$ Wyznacz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.
Pole podstawy regularnego sześciokąta o boku $a$ to $$P_p=\frac{3\sqrt3}{2}\,a^2.$$ Objętość ostrosłupa jest równa $$V=\frac13 P_p\,H=\frac13\cdot\frac{3\sqrt3}{2}a^2\cdot(3a) =\frac{3\sqrt3}{2}\,a^3\cdot\frac{3}{3}=\frac{3\sqrt3}{2}\,a^3\cdot1 =\frac{3\sqrt3}{2}\,a^3.$$ (Zauważenie: uproszczenie wynika z $H=3a$.) Z warunku $V=\dfrac{81\sqrt3}{2}$ otrzymujemy $$\frac{3\sqrt3}{2}\,a^3=\frac{81\sqrt3}{2}\quad\Rightarrow\quad 3a^3=81\quad\Rightarrow\quad a^3=27\quad\Rightarrow\quad a=3.$$ Teraz obliczymy wysokość boczną (slant height) $l$ jednej ściany bocznej. W przekroju przez środek podstawy i wierzchołek ostrosłupa odcinek prostopadły do boku podstawy ma długość równa apotemie sześciokąta: $$r=\frac{\sqrt3}{2}a=\frac{\sqrt3}{2}\cdot3=\frac{3\sqrt3}{2}.$$ Wysokość ostrosłupa to $H=3a=9$. Z twierdzenia Pitagorasa: $$l=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{9^2+\Big(\frac{3\sqrt3}{2}\Big)^2} =\sqrt{81+\frac{27}{4}}=\sqrt{\frac{324+27}{4}}=\sqrt{\frac{351}{4}}=\frac{\sqrt{351}}{2}.$$ Możemy zapisać $\sqrt{351}=\sqrt{9\cdot39}=3\sqrt{39}$, stąd $$l=\frac{3\sqrt{39}}{2}.$$ Pole powierzchni bocznej ostrosłupa składa się z $6$ trójkątów o podstawie $a$ i wysokości $l$, zatem $$P_b=\tfrac12\cdot(\text{obwód podstawy})\cdot l=\tfrac12\cdot(6a)\cdot l=3a l.$$ Dla $a=3$ i $l=\dfrac{3\sqrt{39}}{2}$ mamy $$P_b=3\cdot3\cdot\frac{3\sqrt{39}}{2}=\frac{27\sqrt{39}}{2}.$$
Odpowiedź: $P_b=\dfrac{27\sqrt{39}}{2}\ (\text{jedn.}^2)$.