Miejsca zerowe funkcji
$$f(x)=-(x-1)(x-5)$$
oraz punkty przecięcia jej wykresu z prostą
$$y=x$$
wyznaczają czworokąt. Oblicz pole tego czworokąta
1) Miejsca zerowe funkcji:
$$-(x-1)(x-5)=0 \Rightarrow x_1=1,\; x_2=5,$$
czyli
$$A=(1,0),\quad B=(5,0).$$
2) Punkty przecięcia paraboli z prostą $y=x$:
$$-(x-1)(x-5)=x,$$
$$-x^2+6x-5=x,$$
$$-x^2+5x-5=0,$$
$$x^2-5x+5=0.$$
Wyróżnik:
$$\Delta=25-20=5,$$
stąd
$$x=\frac{5\pm\sqrt5}{2}.$$
Zatem punkty przecięcia to
$$C=\Big(\frac{5-\sqrt5}{2},\frac{5-\sqrt5}{2}\Big),\quad
D=\Big(\frac{5+\sqrt5}{2},\frac{5+\sqrt5}{2}\Big).$$
3) Pole czworokąta $ACDB$ policzymy jako pole obszaru pod parabolą nad osią $OX$ od $x=1$ do $x=5$, pomniejszone o pole obszaru pod prostą $y=x$ pomiędzy punktami przecięcia $C$ i $D$.
Pole pod parabolą:
$$P_1=\int_{1}^{5}-(x-1)(x-5)\,dx=\int_{1}^{5}(-x^2+6x-5)\,dx.$$
$$\int(-x^2+6x-5)\,dx=-\frac{x^3}{3}+3x^2-5x,$$
$$P_1=\Big[-\frac{x^3}{3}+3x^2-5x\Big]_{1}^{5}=\frac{32}{3}.$$
Pole pod prostą $y=x$ między $x_C=\frac{5-\sqrt5}{2}$ i $x_D=\frac{5+\sqrt5}{2}$:
$$P_2=\int_{\frac{5-\sqrt5}{2}}^{\frac{5+\sqrt5}{2}}x\,dx
=\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_{\frac{5-\sqrt5}{2}}^{\frac{5+\sqrt5}{2}}
=\frac{5\sqrt5}{2}.$$
Zatem pole czworokąta:
$$P=P_1-P_2=\frac{32}{3}-\frac{5\sqrt5}{2}.$$