Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy długości $10$. Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $30^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Pole podstawy:
$$P_p=10^2=100.$$
Niech $S$ będzie wierzchołkiem ostrosłupa, $O$ środkiem podstawy, a $A$ wierzchołkiem podstawy.
Krawędź boczna $SA$ tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $30^\circ$. W trójkącie $SAO$ odcinek $AO$ jest rzutem krawędzi $SA$ na płaszczyznę podstawy, a $SO$ jest wysokością ostrosłupa.
Najpierw obliczamy długość $AO$, czyli odległość środka kwadratu od jego wierzchołka. Jest to połowa przekątnej kwadratu:
$$AO=\frac{10\sqrt2}{2}=5\sqrt2.$$
Z definicji tangensa kąta między prostą a płaszczyzną:
$$\tan 30^\circ=\frac{SO}{AO}.$$
Ponieważ
$$\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt3},$$
to
$$\frac{1}{\sqrt3}=\frac{SO}{5\sqrt2}.$$
Stąd
$$SO=\frac{5\sqrt2}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt6}{3}.$$