Uprość wyrażenie
$$
\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}
$$
i określ dziedzinę otrzymanego wyrażenia.
Oznaczmy
$$
W=\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}.
$$
Krok 1. Sprowadzamy do wspólnego mianownika.
$$
W=\frac{\sin^2 x+(1+\cos x)^2}{(1+\cos x)\sin x}.
$$
Rozwijamy licznik:
$$
\sin^2 x+(1+\cos x)^2=\sin^2 x+1+2\cos x+\cos^2 x.
$$
Korzystamy z tożsamości
$$
\sin^2 x+\cos^2 x=1,
$$
więc
$$
\sin^2 x+1+2\cos x+\cos^2 x=1+1+2\cos x=2+2\cos x=2(1+\cos x).
$$
Zatem
$$
W=\frac{2(1+\cos x)}{(1+\cos x)\sin x}.
$$
Skracamy przez $1+\cos x$:
$$
W=\frac{2}{\sin x}.
$$
Krok 2. Dziedzina wyjściowego wyrażenia.
W mianownikach nie może być zera, więc:
$$
1+\cos x\neq 0
\quad \text{oraz} \quad
\sin x\neq 0.
$$
Warunek
$$
\sin x\neq 0
$$
oznacza:
$$
x\neq k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
$$
Warunek
$$
1+\cos x\neq 0
$$
oznacza:
$$
\cos x\neq -1,
$$
czyli
$$
x\neq (2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
$$
Ten drugi warunek zawiera się już w warunku
$$
x\neq k\pi.
$$
Zatem dziedzina jest równa:
$$
D=\mathbb{R}\setminus\{k\pi:\ k\in\mathbb{Z}\}.
$$
Odpowiedź:
$$
\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x},
$$
$$
D=\mathbb{R}\setminus\{k\pi:\ k\in\mathbb{Z}\}.
$$