Zadanie 224

Przeprowadzimy dowód indukcyjny.

Krok 1. Sprawdzenie dla $n=1$.
$$ a_1=2. $$ Z drugiej strony: $$ 2^{1+1}-2=2^2-2=4-2=2. $$ Zatem wzór jest prawdziwy dla $n=1$.

Krok 2. Założenie indukcyjne.
Zakładamy, że dla pewnego $n$ zachodzi: $$ a_n=2^{n+1}-2. $$

Krok 3. Krok indukcyjny.
Korzystamy z definicji ciągu: $$ a_{n+1}=2a_n+1. $$ Podstawiamy założenie: $$ a_{n+1}=2(2^{n+1}-2)+1 =2^{n+2}-4+1 =2^{n+2}-3. $$ Z drugiej strony wzór dla $n+1$ daje: $$ 2^{(n+1)+1}-2=2^{n+2}-2. $$ Otrzymaliśmy różne wyniki, więc poprawiamy wzór.

Poprawny wzór.
Sprawdzamy kilka początkowych wyrazów: $$ a_1=2,\quad a_2=5,\quad a_3=11,\quad a_4=23. $$ Widzimy, że: $$ a_n=3\cdot2^{n-1}-1. $$

Dowód poprawnego wzoru.
Dla $n=1$: $$ 3\cdot2^{0}-1=3-1=2, $$ zgadza się.

Załóżmy: $$ a_n=3\cdot2^{n-1}-1. $$ Wtedy: $$ a_{n+1}=2a_n+1=2(3\cdot2^{n-1}-1)+1 =3\cdot2^n-2+1 =3\cdot2^n-1. $$ Czyli wzór jest prawdziwy dla $n+1$.

Wniosek.
Dla każdej liczby naturalnej $n$: $$ a_n=3\cdot2^{n-1}-1. $$