Zadanie 223

Korzystamy ze wzoru na cosinus różnicy kątów: $$ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. $$ Zauważamy, że: $$ 15^\circ=45^\circ-30^\circ. $$ Zatem: $$ \cos 15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ). $$ $$ =\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ. $$

Podstawiamy wartości: $$ \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}, $$ $$ \sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin30^\circ=\frac{1}{2}. $$ $$ \cos 15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{2}. $$ $$ =\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}. $$ Wyłączamy wspólny czynnik: $$ =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. $$

Odpowiedź: $$ \cos 15^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. $$