Najmniejsza wspólna wielokrotność

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych $a$ i $b$ jest to taka liczba $c$, która jest wielokrotnością liczby $a$ i jest wielokrotnością liczby $b$, czyli istnieją takie liczby $k$, $l$ należące do zbioru liczb naturalnych, że $c = k \cdot a$, i $c = l \cdot b$.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest to najmniejsza liczba różna od zera, która jest jednocześnie wielokrotnością obu liczb.

Najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $a$ i $b$ zapisujemy nww$(a, b)$ lub NWW$(a, b)$ lub też $[$$a, b$$]$.

W przypadku niewielkich liczb, najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć wypisując wielokrotności danych liczb, metoda ta jednak uciążliwa jest dla większych liczb. W tej sytuacji rozkładamy liczby na czynniki pierwsze. W rozkładzie drugiej liczby wykreślamy (o ile istnieją) wspólne czynniki. Iloczyn wszystkich nieskreślonych czynników obu liczb jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.

Przykład
nww$(20, 30) = ?$
Rozkładamy liczbę $20$ i liczbę $30$ na czynniki pierwsze:
$20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$
$30 = \boxed{2} \cdot 3 \cdot \boxed{5}$
W rozkładzie liczby $30$ wykreślamy czynniki: $2$ i $5$, ponieważ występują one w rozkładzie liczby $20$.
Iloczyn pozostałych nieskreślonych czynników równy jest nww.
$2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3 = 60$
nww$(20, 30) = 60$

Najmniejszą wspólną wielokrotność można obliczyć korzystając ze wzoru nww$(a,b) = \frac{ a\cdot b } { nwd(a,b) }$
Trzeba jednak najpierw obliczyć nwd liczb $a$ i $b$.

Z największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności korzystamy często przy obliczeniach arytmetycznych na ułamkach zwykłych. Jeśli chcemy skrócić ułamek, szukamy nwd licznika i mianownika, jeśli chcemy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, to przydatna jest najmniejsza wspólna wielokrotność.


Oblicz nww dwóch liczb naturalnych.

,   

Test - nwd i nww (SP)

matematyka » arytmetyka » podzielność liczb » najmniejsz wspólna wielokrotność




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 79 drukuj