Pierwiastki wielomianu

Wielomian W jak każda funkcja ma wykres, który można narysować na płaszczyznie. Wykres wielomianu może mieć punkty wspólne z osią OX. Miejsce zerowe wielomianu W lub rozwiązania równania wielomianowego nazywamy pierwiastkami.

Liczbę p nazywamy pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy
W(p) = 0.

Liczbę p nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy W(x) jest podzielny przez (x - p)k i nie jest podzielny przez (x - p)k+1.


Twierdzenie Bezoute'a
Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x - p).

Twierdzenie Bezouta mówi o tym, że istnieje ścisła zależność pomiędzy posiadaniem przez wielomian pierwiastka, a jego podzielnością przez pewien dwumian.

Rozszerzone twierdzenie Bezoute'a.
Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x - p) jest równa W(p).


Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu.

Jeżeli współczynniki wielomianu W(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 są liczbami całkowitymi, an ≠ 0 i liczba pq (zapisany jako ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem tego wielomianu, to p dzieli a0, natomiast q dzieli an

Twierdzenie to wyznacza skończony zbiór pierwiastków wymiernych, nie mówi nic o pierwiastkach niewymiernych wielomianu. Jeśli istnieją wymierne pierwiastki wielomianu W(x), to są one postaci pq, gdzie p jest dzielnikiem wyrazu wolnego a0, a q jest dzielnikiem współczynnika an, gdzie n jest stopniem wielomianu.

matematyka » analiza » funkcje » rodzaje funkcji » wielomiany » pierwiastki wielomianu




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 98 drukuj