logowanie

matematyka » algebra » wyrażenia algebraiczne » wielomiany

Wielomiany

Wielomianem nazywamy sumę algebraiczną jednomianów. Jednomian uważamy za szczególny przypadek wielomianu.

Wielomiany możemy podzielić ze względu na liczbę zmiennych, i tak wielomian $3x+2y$ będzie wielomianem dwóch zmiennych $x$ i $y$, a wielomian $3x^2+2x+1$ będzie wielomianem jednej zmiennej $x$.

Przykłady wielomianów
$3x^2+2x+1$)
$x^2-2xy$
$ax^2+bx+c$

Stopień wielomianu to najwyższy ze stopni jednomianów wchodzących w jego skład.
Wielomian $3+4-1$ jest stopnia zerowego.
Wielomian $2a+3$ jest stopnia pierwszego.
Wielomian $3x^2+2x+1$ jest stopnia drugiego.
Wielomian $3a^2+b^2+2ab+1$ jest stopnia drugiego.
Wielomian $-x^3-1$ jest stopnia trzeciego.


Wielomianem stopnia $n$ jednej zmiennej $x$ to wyrażenie postaci $a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0$.
Symbole $a_i$ to współczynniki liczbowe wielomianu, zakłada się przy tym, że $a_n \neq 0$. To założenie jest istotne, gdyż gwarantuje, że wielomian jest stopnia $n$. Każdy wielomian jednej zmiennej $x$ wyznacza funkcję $y = W(x)$, której dziedziną i zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych. Wielomiany takie oznaczamy przez $W(x), P(x)$. Wielomiany jednej zmiennej to szczególny rodzaj wielomianów, z którymi często mamy do czynienia.

Przykłady wielomianów jednej zmiennej
$3x^2+2x+1$     (współczynniki wielomianu: $3, 2, 1$)
$2x^4-1$     (współczynniki wielomianu: $2, -1$)
$x^3-2x^2-x+2$     (współczynniki wielomianu: $1, -2, -1, 2$)
$a+a^2+a^3+a^4+a^5$     (współczynniki wielomianu: $1, 1, 1, 1, 1$)


Wielomian jest uporządkowany, gdy jego składniki uporządkowane są malejąco ze względu na wykładniki potęg. Wielomian uporządkowany składający się z dwóch wyrazów nazywamy dwumianem, a wielomian uporządkowany składający się z trzech wyrazów nazywamy trójmianem.

Przykłady uporządkowanych wielomianów
$2x^2+1$   (dwumian)
$x^2+2x+1$   (trójmian)
$x^4-2x^2-x+3$


Wielomian $W(x)=0$ nazywamy wielomianem zerowym i przyjmujemy, że nie ma określonego stopnia.
Dwa niezerowe wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach.
Zmieniając znaki wszystkich jednomianów tworzących wielomian na przeciwne otrzymujemy wielomian do niego przeciwny. Dla każdego wielomianu $W(x)$, wielomian $-W(x) = (-1) \cdot W(x)$ jest przeciwny do $W(x)$. Suma $W(x) + (-W(x))$ jest wielomianem zerowym.


Działania na wielomianach jednej zmiennej
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów nie sprawia większych trudności i w wyniku tych działań zawsze otrzymujemy wielomian. Działania na wielomianach podlegają znanym prawom. Zarówno dodawanie, jak i mnożenie wielomianów są łączne i przemienne. Zachodzi również prawo rozdzielności mnożenia wielomianów względem ich dodawania.

Suma i różnica wielomianów
Iloczyn wielomianów
Iloraz wielomianów
Schemat Hornera


Pierwiastki wielomianu
Równania wielomianowe
Rozkład wielomianu na czynniki





© 2018 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 13 drukuj