Dzielenie wielomianów

Niech W(x) i P(x) będą danymi wielomianami. Jeżeli istnieje dokładnie jeden taki wielomian Q(x), że spełniona jest równość W(x) = Q(x) · P(x), to wielomian Q(x) nazywamy ilorazem wielomianu W(x) przez wielomian P(x). Wielomian P(x) nazywamy dzielnikiem wielomianu W(x)

Dla wielomianów, podobnie jak dla liczb całkowitych, określa się dzielenie z resztą.

Jeżeli W(x) i P(x) są wielomianami oraz P(x) ≠ 0, to istnieją takie dwa wielomiany Q(x) i R(x), że
W(x) = Q(x) · P(x) + R(x),

przy czym albo wielomiam R(x) = 0 albo stopień wielomianu R(x) jest mniejszy od stopnia wielomianu P(x). Wielomian R(x) nazywamy resztą z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x).

Jeśli reszta R(x) jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x).


Wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) nie będący wielomianem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian Q(x) taki, że
W(x) = Q(x) · P(x).


Metoda dzielenia wielomianów
W praktyce algorytm dzielenia wielomianów podobny jest do dzielenia liczb całkowitych, gdzie podczas dzielenia otrzymujemy iloraz i resztę z dzielenia.

Aby podzielić wielomian W(x) przez wielomian P(x) należy:
1. Uporządkować dwa wielomiany (zapisać ich wyrazy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi zmiennej)
2. Podzielić pierwszy wyraz dzielnej W(x) przez pierwszy wyraz dzielnika P(x)
3. Otrzymany jednomian pomnożyć przez dzielnik i odjąć od dzielnej. W wyniku odejmowania powstaje reszta R1(x)
4. Pierwszy wyraz reszty R1(x) należy podzielić przez pierwszy wyraz dzielnika P(x)
5. Otrzymany jednomian należy pomnożyć przez dzielnik i odjąć od reszty R1(x). W wyniku odejmowania powstaje reszta R2(x)
6. Punkty 4 - 5 powtarzamy do uzyskania reszty równej zero lub reszty, której stopień jest niższy od stopnia dzielnika P(x).

Przykład:

       x + 5      
      (x3 + 5x2 + 7) : (x2 + 1)
    - (x3 + x)        
           5x2 - x + 7
        - (5x2 + 5)   
                -x + 2
     

x3 + 5x2 + 7 = (x2 + 1)(x + 5) + (-x + 2)

Schemat Hornera

matematyka » analiza » funkcje » wielomiany » działania na wielomianach » dzielenie wielomianów




gość logowanie

© 2014 Mariusz Śliwiński      mapa | o serwisie | kontakt | rss online: 41 drukuj