logowanie

matematyka » algebra » wyrażenia algebraiczne » wielomiany » dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów

Niech $W(x)$ i $P(x)$ będą danymi wielomianami. Jeżeli istnieje dokładnie jeden taki wielomian $Q(x)$, że spełniona jest równość
$W(x) = Q(x) \cdot P(x)$, to wielomian $Q(x)$ nazywamy ilorazem wielomianu $W(x)$ przez wielomian $P(x)$. Wielomian $P(x)$ nazywamy dzielnikiem wielomianu $W(x)$.

Dla wielomianów, podobnie jak dla liczb całkowitych, określa się resztę z dzielenia.

Jeżeli $W(x) i P(x)$ są wielomianami oraz $P(x) \neq 0$, to istnieją takie dwa wielomiany $Q(x)$ i $R(x)$, że $W(x) = Q(x) \cdot P(x) + R(x)$,
przy czym albo wielomian $R(x) = 0$ albo stopień wielomianu $R(x)$ jest mniejszy od stopnia wielomianu $P(x)$. Wielomian $R(x)$ nazywamy resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez wielomian $P(x)$.

Jeśli reszta $R(x)$ jest wielomianem zerowym, to mówimy, że wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$.


Wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$ nie będący wielomianem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q(x)$ taki, że $W(x) = Q(x) \cdot P(x)$.


Metoda dzielenia wielomianów
W praktyce algorytm dzielenia wielomianów podobny jest do dzielenia liczb całkowitych, gdzie podczas dzielenia otrzymujemy iloraz i resztę z dzielenia.

Aby podzielić wielomian W(x) przez wielomian P(x) należy:
1. Uporządkować dwa wielomiany (zapisać ich wyrazy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi zmiennej)
2. Podzielić pierwszy wyraz dzielnej W(x) przez pierwszy wyraz dzielnika P(x)
3. Otrzymany jednomian pomnożyć przez dzielnik i odjąć od dzielnej. W wyniku odejmowania powstaje reszta R1(x)
4. Pierwszy wyraz reszty R1(x) należy podzielić przez pierwszy wyraz dzielnika P(x)
5. Otrzymany jednomian należy pomnożyć przez dzielnik i odjąć od reszty R1(x). W wyniku odejmowania powstaje reszta R2(x)
6. Punkty 4 - 5 powtarzamy do uzyskania reszty równej zero lub reszty, której stopień jest niższy od stopnia dzielnika P(x).

Przykład:

    $\underline{x + 5      }$
  $(x^3 + 5x^2 + 7) : (x^2 + 1)$
$- \underline{(x^3 + x)        }$
            $5x^2 - x + 7$
         $- \underline{(5x^2 + 5)   }$
                    $-x + 2$

$x^3 + 5x^2 + 7 = (x^2 + 1)(x + 5) + (-x + 2)$


Schemat Hornera





© 2016 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 43 drukuj