Schemat Hornera
Schemat Hornera powiązany z nazwiskiem Hornera - brytyjskiego matematyka żyjącego na przełowmie XVIII i XIX wieku. Schemat Hornera to sposób obliczania wartości wielomianu dla danej wartości argumentu wykorzystujący minimalną liczbę mnożeń. Jest to również algorytm dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - c.
Schemat Hornera pozwala na wyznaczenie ilorazu Q(x) z dzielenia wielomianu
W(x) =
anxn +
an-1xn-1 +
... +
a2x2 +
a1x +
a0
przez dwumian x - c.
Podzielmy przez dwumian x - 5 wielomian
W(x) = x3 + x2 - 10x + 8
Wykonując dzielenie za pomocą schematu Hornera tworzymy tabelkę, gdzie w górnym wierszu schematu wypisujemy współczynniki dzielnej, tzn. wielomianu x3 + x2 - 10x + 8.
| 1 | +1 | -10 | +8 | |
| +5 | 1 | +6 | +20 | (+108) |
W dolnym wierszu w pierwszej kolumnie zapisujemy liczbę odjętą od x w dzielniku. Pozostałe wartości to współczynniki ilorazu x2 + 6x + 20 oraz reszta (+108).
Wiersz dolny otrzymujemy z górnego w następujący sposób:
- pierwszy współczynnik wiersza dolnego równy jest pierwszemu współczynnikowi wiersza górnego
tzn. liczbie 1,
- drugi współczynnik wiersza dolnego otrzymujemy, mnożąc poprzedni współczynnik tego wiersza, tzn. 1 przez 5 i
dodając do drugiego współczynnika wiersza górnego, tzn. do +1
1 · (+5) + (+1) = +6
,
- trzeci współczynnik wiersza dolnego otrzymujemy, mnożąc poprzedni współczynnik tego wiersza, tzn. +6 przez
+5 i dodając do trzeciego współczynnika wiersza górnego, tzn. -10
(+6) · (+5) + (-10) = +20
,
- podobnie mamy (+20) · (+5) + (+8) = +108,
Ostatecznie możemy zapisać:
(x3 + x2 - 10x + 8) : (x - 5) =
x2 + 6x + 20 reszta +108.