logowanie

matematyka » arytmetyka » zbiory liczbowe » liczby wymierne » ułamki zwykłe » rozszerzanie i skracanie ułamków

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Złota zasada dotycząca ułamków powiada, że po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę różną od zera, jego wartość nie ulega zmianie. Dzięki tej zasadzie możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić ułamki.

Rozszerzanie ułamków to mnożenie, a skracanie (upraszczanie) ułamków to dzielenie licznika i mianownika ułamka przez taką samą liczbę różną od zera. Rozszerzając lub upraszczając ułamek nie zmieniamy jego wartości. Dzięki tej własności operacje rozszerzania i skracania ułamków często wykorzystujemy w działaniach na nich. Rozszerzanie ułamków wykorzystujemy przy sprowadzaniu ich do wspólnego mianownika, które to często jest pomocne w dodawaniu czy odejmowaniu. Skracanie to uproszczanie ułamka. Ułamki nieskrócone wyglądają źle.

Aby rozszerzyć ułamek, należy pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera.
Aby skrócić (uprościć) ułamek, należy podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera.

Skracając ułamek szukamy największego wspólnego dzielnika dla licznika i mianownika. Jeśli dzielnik ten jest większy niż $1$, to ułamek możemy uprościć (skrócić). Sam algorytm skracania jest prosty, wystarczy licznik i mianownik podzielić przez znaleziony dzielnik. Po podzieleniu otrzymujemy ułamek równoważny poprzedniemu.
Są jednak ułamki, których nie da się już uprościć, takie ułamki nazywamy nieskracalnymi. Ułamki są nieskracalne wtedy, gdy licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od $1$. O liczbach, których największym wspólnym dzielnikiem jest liczba $1$, mówimy, że są względnie pierwsze. Ułamkiem nieskracalnym nazywamy więc taki ułamek, którego licznik i mianownik są liczbami względnie pierwszymi.

Przykłady:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$   - ułamek trzy czwarte został rozszerzony przez $5$.
$\frac{6}{9} = \frac{6: 3}{9: 3} = \frac{2}{3}$   - ułamek sześć dziewiątych został skrócony przez $3$.

przykłady ułamków nieskracalnych: $\frac{7}{10}, \frac{6}{25}, \frac{2}{15}, \frac{3}{20}$


Upraszczanie ułamka.

Wprowadź ułamek w postaci $a/b$, gdzie $a, b \gt 0$.





© 2016 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 45 drukuj