logowanie

matematyka » algebra » macierze » wyznacznik macierzy » rozwinięcie Laplace'a

Rozwinięcie Laplace'a

Obliczanie wyznacznika dowolnego stopnia

Wyznacznik dowolnego stopnia można obliczyć wprost z definicji, jednak jest to bardzo czasochłonne dla dużego n. Lepiej skorzystać z faktu, że dodanie lub odjęcie od dowolnego wiersza (kolumny) innego wiersza (kolumny) nie zmienia wartości wyznacznika i tym sposobem sprowadzić jak najwięcej elementów pewnego wiersza (kolumny) do zera.

Jeśli skreślimy z macierzy A pewną liczbę wierszy i kolumn tak, aby elementy nieskreślone utworzyły macierz kwadratową M, to wyznacznik detM nazywamy minorem macierzy.

Minorem odpowiadającym elementowi aij macierzy kwadratowej A nazywamy wyznacznik, który powstaje z elementów pozostałych po skreśleniu i-tego wiersza i j-tej kolumny. Oznaczamy symbolicznie Mij.

Przykładami minorów macierzy
|2410| = -4 ,   |124253410|= -51

Są to minory odpowiednio drugiego i trzeciego stopnia. Pierwszy minor powstał przez skreślenie drugiego wiersza oraz pierwszej i trzeciej kolumny. Drugi powstał przez skreślenie trzeciej kolumny.


Dopełnieniem algebraicznym Aij elementu aij nazywamy liczbę równą iloczynowi minora Mij odpowiadającego temu elementowi i wyrażenia (-1)i+j.
Aij = (-1)i+jMij


Dla każdej macierzy A o wymiarach n×n wyznacznik detA spełnia regułę zwaną rozwinięciem Laplace'a. Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnie wybranego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne.

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin    (rozwinięcie względem i-tego wiersza)
detA = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj    (rozwinięcie względem j-tej kolumny)

Rozwinięcia Laplace'a ułatwiają obliczenia wyznaczników stopnia wyższego niż 3. Zastosowanie twierdzenia Laplace'a kontynuujemy do uzyskania macierzy, której wyznacznik można obliczyć z drugiego lub trzeciego stopnia.

Przykład
Następujący wyznacznik obliczamy rozwijając według drugiej kolumny:
|13-42302-121030052| = -3· | 32-1 203 052 | +0· | 1-42 203 052 | -1· | 1-42 32-1 052 | +0· | 1-42 32-1 203 | = (-3)·(-63) - 1·63 = 126





© 2017 Mariusz Śliwiński      o serwisie | kontakt online: 34 drukuj